数据结构与算法题解（8）：KMP算法

KMP算法是三位大牛：D.E.Knuth、J.H.Morris和V.R.Pratt同时发现的。其中第一位就是《计算机程序设计艺术》的作者！

KMP算法要解决的问题就是在字符串（也叫主串）中的模式（pattern）定位问题。说简单点就是我们平时常说的关键字搜索。模式串就是关键字（接下来称它为P），如果它在一个主串（接下来称为T）中出现，就返回它的具体位置，否则返回-1（常用手段）。

首先，对于这个问题有一个很单纯的想法：从左到右一个个匹配，如果这个过程中有某个字符不匹配，就跳回去，将模式串向右移动一位。这有什么难的？

我们可以这样初始化：

之后我们只需要比较i指针指向的字符和j指针指向的字符是否一致。如果一致就都向后移动，如果不一致，如下图：

A和E不相等，那就把i指针移回第1位（假设下标从0开始），j移动到模式串的第0位，然后又重新开始这个步骤：

public class Demo{
	public static int bf(String ts,String ps) {
		char[] t = ts.toCharArray();
		char[] p = ps.toCharArray();
		int i = 0; // 主串的位置
		int j = 0; // 模式串的位置
		while (i < t.length && j < p.length) {
		    if (t[i] == p[j]) { // 当两个字符相同，就比较下一个
		    		i++;
		    		j++;
		    }else {
		    		i = i - j + 1; // 一旦不匹配，i后退
		    		j = 0; // j归0
		    }
	    }
		if (j == p.length) {
			return i - j;
	     }else {
	        return -1;
	     } 
	    }
}

上面的程序是没有问题的，但不够好！如果是人为来寻找的话，肯定不会再把i移动回第1位，因为主串匹配失败的位置前面除了第一个A之外再也没有A了，我们为什么能知道主串前面只有一个A？因为我们已经知道前面三个字符都是匹配的！（这很重要）。移动过去肯定也是不匹配的！有一个想法，i可以不动，我们只需要移动j即可，如下图：

上面的这种情况还是比较理想的情况，我们最多也就多比较了再次。但假如是在主串“SSSSSSSSSSSSSA”中查找“SSSSB”，比较到最后一个才知道不匹配，然后i回溯，这个的效率是显然是最低的。

大牛们是无法忍受“暴力破解”这种低效的手段的，于是他们三个研究出了KMP算法。其思想就如同我们上边所看到的一样：“利用已经部分匹配这个有效信息，保持i指针不回溯，通过修改j指针，让模式串尽量地移动到有效的位置。”

所以，整个KMP的重点就在于当某一个字符与主串不匹配时，我们应该知道j指针要移动到哪？

接下来我们自己来发现j的移动规律：

如图：C和D不匹配了，我们要把j移动到哪？显然是第1位。为什么？因为前面有一个A相同啊：

如下图也是一样的情况：

可以把j指针移动到第2位，因为前面有两个字母是一样的：

至此我们可以大概看出一点端倪，当匹配失败时，j要移动的下一个位置k。存在着这样的性质：最前面的k个字符和j之前的最后k个字符是一样的。

如果用数学公式来表示是这样的

$$P[0，k-1] == P[j-k， j-1]$$

弄明白了这个就应该可能明白为什么可以直接将j移动到k位置了。

因为:

当T[i] != P[j]时

有T[i-j ~ i-1] == P[0 ~ j-1]

由P[0 ~ k-1] == P[j-k ~ j-1]

必然：T[i-k ~ i-1] == P[0 ~ k-1]

公式很无聊，能看明白就行了，不需要记住。

这一段只是为了证明我们为什么可以直接将j移动到k而无须再比较前面的k个字符。

好，接下来就是重点了，怎么求这个（这些）k呢？因为在P的每一个位置都可能发生不匹配，也就是说我们要计算每一个位置j对应的k，所以用一个数组next来保存，next[j] = k，表示当T[i] != P[j]时，j指针的下一个位置。

很多教材或博文在这个地方都是讲得比较含糊或是根本就一笔带过，甚至就是贴一段代码上来，为什么是这样求？怎么可以这样求？根本就没有说清楚。而这里恰恰是整个算法最关键的地方。

public class Demo{
    public static int[] getNext(String ps) {
        char[] p = ps.toCharArray();		  
		int[] next = new int[p.length];		  
		next[0] = -1;		  
		int j = 0;		 
		int k = -1;		 
		while (j < p.length - 1) {
		    if (k == -1 || p[j] == p[k]) {
		        next[++j] = ++k;
		    } else {
		    		k = next[k];		 
		    }
        }
		return next;
	}
}

这个版本的求next数组的算法应该是流传最广泛的，代码是很简洁。可是真的很让人摸不到头脑，它这样计算的依据到底是什么？
好，先把这个放一边，我们自己来推导思路，现在要始终记住一点，next[j]的值（也就是k）表示，当P[j] != T[i]时，j指针的下一步移动位置。
先来看第一个：当j为0时，如果这时候不匹配，怎么办？

像上图这种情况，j已经在最左边了，不可能再移动了，这时候要应该是i指针后移。所以在代码中才会有next[0] = -1;这个初始化。
如果是当j为1的时候呢？

显然，j指针一定是后移到0位置的。因为它前面也就只有这一个位置了~~~
下面这个是最重要的，请看如下图：

请仔细对比这两个图。我们发现一个规律：

当P[k] == P[j]时，
有next[j+1] == next[j] + 1

其实这个是可以证明的：

因为在P[j]之前已经有P[0 ~ k-1] == p[j-k ~ j-1]。（next[j] == k）
这时候现有P[k] == P[j]，我们是不是可以得到P[0 ~ k-1] + P[k] == p[j-k ~ j-1] + P[j]。
即：P[0 ~ k] == P[j-k ~ j]，即next[j+1] == k + 1 == next[j] + 1。

这里的公式不是很好懂，还是看图会容易理解些。
那如果P[k] != P[j]呢？比如下图所示：

像这种情况，如果你从代码上看应该是这一句：k = next[k];为什么是这样子？你看下面应该就明白了。

现在你应该知道为什么要k = next[k]了吧！像上边的例子，我们已经不可能找到[ A，B，A，B ]这个最长的后缀串了，但我们还是可能找到[ A，B ]、[ B ]这样的前缀串的。所以这个过程像不像在定位[ A，B，A，C ]这个串，当C和主串不一样了（也就是k位置不一样了），那当然是把指针移动到next[k]啦。

在P[K]!=P[j]时，我们已经知道（0，k-1）串和（j-k,j-1）串是相等的，所以可以把（0，k-1）串当做一个新的模式串，发现在新模式串中（0，next[k]-1）串与（k-next[k],k-1）串相等，所以（j-k,j-1）中存在与（0，next[k]-1）相等的串，所以可以把j移动到next[k],继续比较和移动。

有了next数组之后就一切好办了，我们可以动手写KMP算法了：

public static int KMP(String ts, String ps) {
    char[] t = ts.toCharArray();
    char[] p = ps.toCharArray();
    int i = 0; // 主串的位置
    int j = 0; // 模式串的位置
    int[] next = getNext(ps);
    	while (i < t.length && j < p.length) {
    	    if (j == -1 || t[i] == p[j]) { // 当j为-1时，要移动的是i，当然j也要归0
    	    		i++;
    	    		j++;
    	    	} else {
    	    		// i不需要回溯了
    	    		// i = i - j + 1;
    	    		j = next[j]; // j回到指定位置
        }
    	}
    	if (j == p.length) {
    		return i - j;
    	} else {
    		return -1;
    	}
}

和暴力破解相比，就改动了4个地方。其中最主要的一点就是，i不需要回溯了。

最后，来看一下上边的算法存在的缺陷。来看第一个例子：

显然，当我们上边的算法得到的next数组应该是[ -1，0，0，1 ]

所以下一步我们应该是把j移动到第1个元素：

不难发现，这一步是完全没有意义的。因为后面的B已经不匹配了，那前面的B也一定是不匹配的，同样的情况其实还发生在第2个元素A上。
显然，发生问题的原因在于P[j] == P[next[j]]。
所以我们也只需要添加一个判断条件即可：

public static int[] getNext(String ps) {
        char[] p = ps.toCharArray();		  
		int[] next = new int[p.length];		  
		next[0] = -1;		  
		int j = 0;		 
		int k = -1;		 
		while (j < p.length - 1) {
		    if (k == -1 || p[j] == p[k]) {
		    		if (p[++j] == p[++k]) { // 当两个字符相等时要跳过
		    			next[++j] = ++k;
		    		} else {
		    			next[j] = k;;	
		    		}	 
		    	}else {
		    		k = next[k];
		    	}
        }
		return next;
}