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机器学习算法系列(10):朴素贝叶斯

朴素贝叶斯(Naive Bayes)是基于贝叶斯定理与特征条件假设的分类方法。

对于给定的训练数据集,首先基于特征条件独立假设学习输入、输出的联合分布;然后基于此模型,对给定的输入$x$,利用贝叶斯定理求出后验概率最大的输出$y$。

朴素贝叶斯实现简单,学习与预测的效率都很高,是一种常用的方法。

一、朴素贝叶斯的学习与分类

1.1贝叶斯定理

先看什么是条件概率

$P(A|B$表示事件$B已经发生的前提下,事件$A发生的概率,叫做事件$B$
发生下事件$A$的条件概率。其基本求解公式为

贝叶斯定理便是基于条件概率,通过$P(A|B)$来求$P(B|A)$:

顺便提一下,上式中的分母,可以根据全概率公式分解为:

1.2 特征条件独立假设

这一部分开始朴素贝叶斯的理论推导,从中你会深刻地理解什么是特征条件独立假设。

给定训练数据集$(X,Y)$,其中每个样本$X$都包括$n$维特征,即$x=(x_1,x_2,···,x_n)$,类标记集合含有$K$种类别,即$y=(y_1,y_2,···,y_k)$

如果现在来了一个新样本$x$我们要怎么判断它的类别?从概率的角度来看,这个问题就是给定$x$,它属于哪个类别的概率更大。那么问题就转化为求解$P(y_1|x),P(y_2|x),P(y_k|x)$中最大的那个,即求后验概率最大的输出:$
arg\underset{y_k}{\max}P\left(y_k|x\right)
$

那$P(y_k|x)$怎么求解?答案就是贝叶斯定理:

根据全概率公式,可以进一步分解上式中的分母:

先不管分母,分子中的$P(y_k)$是先验概率,根据训练集就可以简单地计算出来,而条件概率$P(x|y_k)=P(x_1,x_2,···,x_n|y_k)$,它的参数规模是指数数量级别的,假设第$i$维特征$x_i$可取值的个数有$S_i$个,类别取值个数为$k$个,那么参数个数为$
k\prod_{j=1}^n{S_j}
$

这显然是不可行的。针对这个问题,朴素贝叶斯算法对条件概率分布做了独立性的假设,通俗地讲就是说假设各个维度的特征$x_1,x_2,···,x_n$互相独立,由于这是一个较强的假设,朴素贝叶斯算法也因此得名。在这个假设的前提上,条件概率可以转化为:

这样参数规模就降到了$
\sum_{i=1}^n{S_ik}
$

以上就是针对条件概率所作出的特征条件独立性假设,至此,先验概率$P(y_k)$和条件概率$P(x|y_k)$的求解问题就都解决了,那么我们是不是可以求解我们所需要的后验概率$P(y_k|x)$了

答案是肯定的。我们继续上面关于$P(y_k|x)$的推导,将公式2代入公式1中得到:

于是朴素贝叶斯分类器可表示为:

因为对于所有的$y_k$,上式中的分母的值都是一样的(为什么?注意到全加符号就容易理解了),所以可以忽略分母部分,朴素贝叶斯分裂期最终表示为:

二、朴素贝叶斯法的参数估计

2.1 极大似然估计

根据上述,可知朴素贝叶斯要学习的东西就是$P(Y=c_k)$和$P(X^{j}=a_{jl}|Y=c_k)$,可以应用极大似然估计法估计相应的概率(简单讲,就是用样本来推断模型的参数,或者说是使得似然函数最大的参数)。

先验概率$P(Y=c_k)$的极大似然估计是

也就是用样本中$c_k$的出现次数除以样本容量。

推导如下:

2019-05-18-061314.jpg

设第$j$个特征$x^{(j)}$可能取值的集合为${a_{j1},a_{j2},···,a_{jl}}$,条件概率$P(X^{j}=a_{jl}|Y=c_k)$的极大似然估计是:

式中,$x_i^{j}$是第$i$个样本的第$j$个特征。

例题如下:
2019-05-18-061324.jpg

2.2 贝叶斯估计

极大似然估计有一个隐患,假设训练数据中没有出现某种参数与类别的组合怎么办?比如上例中当$Y=1$对应的$X^{(1)}$的取值只有$1$和$2$。这样可能会出现所要估计的概率值为0的情况,但是这不代表真实数据中就没有这样的组合。这时会影响到后验概率的计算结果,使分类产生偏差。解决办法是贝叶斯估计。

条件概率的贝叶斯估计:

其中$\lambda≥0$,$S_j$表示$x_j$可能取值的中数。分子和分母分别比极大似然估计多了一点东西,其意义为在随机变量各个取值的频数上赋予一个正数$\lambda≥0$。当$\lambda=0$时就是极大似然估计。常取$\lambda=1$,这时称为拉普拉斯平滑。

先验概率的贝叶斯估计:

例题如下:

2019-05-18-061343.jpg

三、python代码实现

3.1 朴素贝叶斯文档分类

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# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on 下午5:28 22 03 2017
bayes algorithm: classify a words as good or bad [text classify]
@author: plushunter
"""
from numpy import *
class Naive_Bayes:
def __init__(self):
self._creteria = "NB"
#创建不重复词集
def _creatVocabList(self,dataSet):
vocabSet = set([]) # 创建一个空的SET
for document in dataSet:
vocabSet = vocabSet | set(document) # 并集
return list(vocabSet) # 返回不重复词表(SET的特性)
#文档词集向量模型
def _setOfWordToVec(self,vocabList, inputSet):
"""
功能:给定一行词向量inputSet,将其映射至词库向量vocabList,出现则标记为1,否则标记为0.
"""
returnVec = [0] * len(vocabList)
for word in inputSet:
if word in vocabList:
returnVec[vocabList.index(word)] = 1
return returnVec
#文档词袋模型
def _bagOfsetOfWordToVec(self,vocabList, inputSet):
"""
功能:对每行词使用第二种统计策略,统计单个词的个数,然后映射到此库中
输出:一个n维向量,n为词库的长度,每个取值为单词出现的次数
"""
returnVec = [0] * len(vocabList)
for word in inputSet:
if word in vocabList:
returnVec[vocabList.index(word)] += 1 #更新此处代码
return returnVec
def _trainNB0(self,trainMatrix, trainCategory):
"""
输入:训练词矩阵trainMatrix与类别标签trainCategory,格式为Numpy矩阵格式
功能:计算条件概率p0Vect、p1Vect和类标签概率pAbusive
"""
numTrainDocs = len(trainMatrix)#样本个数
numWords = len(trainMatrix[0])#特征个数,此处为词库长度
pAbusive = sum(trainCategory) / float(numTrainDocs)#计算负样本出现概率(先验概率)
p0Num = ones(numWords)#初始词的出现次数为1,以防条件概率为0,影响结果
p1Num = ones(numWords)#同上
p0Denom = 2.0#类标记为2,使用拉普拉斯平滑法,
p1Denom = 2.0
#按类标记进行聚合各个词向量
for i in range(numTrainDocs):
if trainCategory[i] == 0:
p0Num += trainMatrix[i]
p0Denom += sum(trainMatrix[i])
else:
p1Num += trainMatrix[i]
p1Denom += sum(trainMatrix[i])
p1Vect = log(p1Num / p1Denom)#计算给定类标记下,词库中出现某个单词的概率
p0Vect = log(p0Num / p0Denom)#取log对数,防止条件概率乘积过小而发生下溢
return p0Vect, p1Vect, pAbusive
def _classifyNB(self,vec2Classify, p0Vec, p1Vec, pClass1):
"""
该算法包含四个输入:
vec2Classify表示待分类的样本在词库中的映射集合,
p0Vec表示条件概率P(wi|c=0)P(wi|c=0),
p1Vec表示条件概率P(wi|c=1)P(wi|c=1),
pClass1表示类标签为1时的概率P(c=1)P(c=1)。
p1=ln[p(w1|c=1)p(w2|c=1)…p(wn|c=1)p(c=1)]
p0=ln[p(w1|c=0)p(w2|c=0)…p(wn|c=0)p(c=0)]
log取对数为防止向下溢出
功能:使用朴素贝叶斯进行分类,返回结果为0/1
"""
p1 = sum(vec2Classify * p1Vec) + log(pClass1)
p0 = sum(vec2Classify * p0Vec) + log(1 - pClass1)
if p1 > p0:
return 1
else:
return 0
#test
def testingNB(self,testSample):
"step1:加载数据集与类标号"
listOPosts, listClasses = loadDataSet()
"step2:创建词库"
vocabList = self._creatVocabList(listOPosts)
"step3:计算每个样本在词库中出现的情况"
trainMat = []
for postinDoc in listOPosts:
trainMat.append(self._bagOfsetOfWordToVec(vocabList, postinDoc))
p0V, p1V, pAb = self._trainNB0(trainMat, listClasses)
"step4:测试"
thisDoc = array(self._bagOfsetOfWordToVec(vocabList, testSample))
result=self._classifyNB(thisDoc, p0V, p1V, pAb)
print testSample, 'classified as:', result
# return result
###
# 加载数据集
def loadDataSet():
postingList = [['my', 'dog', 'has', 'flea', 'problems', 'help', 'please'],
['maybe', 'not', 'take', 'him', 'to', 'dog', 'park', 'stupid'],
['my', 'dalmation', 'is', 'so', 'cute', 'I', 'love', 'him'],
['stop', 'posting', 'stupid', 'worthless', 'garbage'],
['mr', 'licks', 'ate', 'my', 'steak', 'how', 'to', 'stop', 'him'],
['quit', 'buying', 'worthless', 'dog', 'food', 'stupid']]
classVec = [0, 1, 0, 1, 0, 1] # 1 is abusive, 0 not
return postingList, classVec
#测试
if __name__=="__main__":
clf = Naive_Bayes()
testEntry = [['love', 'my', 'girl', 'friend'],
['stupid', 'garbage'],
['Haha', 'I', 'really', "Love", "You"],
['This', 'is', "my", "dog"],
['maybe','stupid','worthless']]
for item in testEntry:
clf.testingNB(item)

3.2 使用朴素贝叶斯过滤垃圾邮件

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# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on 下午8:47 22 03 2017
Email_Classify
@author: plushunter
"""
import re
import Bayes
from numpy import *
# mysent='This book is the best book on Python or M.L I have ever laid eyes upon.'
# regEx = re.compile('\\W*')
# listOfTokens=regEx.split(mysent)
# tok=[tok.upper() for tok in listOfTokens if len(tok)>0]
# print tok
#
# emailText=open('email/ham/6.txt').read()
# listOfTokens=regEx.split(emailText)
# print listOfTokens
def textParse(bigString):
import re
listOfTokens=re.split(r'\w*',bigString)
return [tok.lower() for tok in listOfTokens if len(tok)>2]
def spamTest():
clf = Bayes.Naive_Bayes()
docList=[]
classList=[]
fullText=[]
for i in range(1,26):
wordList=textParse(open('email/spam/%d.txt'%i).read())
docList.append(wordList)
fullText.extend(wordList)
classList.append(1)
wordList=textParse(open('email/ham/%i.txt'%i).read())
docList.append(wordList)
fullText.extend(wordList)
classList.append(0)
vocabList=clf._creatVocabList(docList)
trainingSet=range(50);testSet=[]
for i in range(10):
randIndex=int(random.uniform(0,len(trainingSet)))
testSet.append(trainingSet[randIndex])
del(trainingSet[randIndex])
trainMatix=[];trainClasses=[]
for docIndex in trainingSet:
trainMatix.append(clf._bagOfsetOfWordToVec(vocabList,docList[docIndex]))
trainClasses.append(classList[docIndex])
p0V,p1V,pSpam=clf._trainNB0(array(trainMatix),array(trainClasses))
errorCount = 0
for docIndex in testSet:
wordVector = clf._bagOfsetOfWordToVec(vocabList,docList[docIndex])
if clf._classifyNB(array(wordVector), p0V, p1V, pSpam)!=classList[docIndex]:
errorCount+=1
print 'the error rate is :',float(errorCount)/len(testSet)

四、参考资料

维基百科:Naive Bayes classifier
数学之美番外篇:平凡而又神奇的贝叶斯方法
朴素贝叶斯理论推导与三种常见模型
机器学习实战



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