朴素贝叶斯(Naive Bayes)是基于贝叶斯定理与特征条件假设的分类方法。
对于给定的训练数据集,首先基于特征条件独立假设学习输入、输出的联合分布;然后基于此模型,对给定的输入$x$,利用贝叶斯定理求出后验概率最大的输出$y$。
朴素贝叶斯实现简单,学习与预测的效率都很高,是一种常用的方法。
一、朴素贝叶斯的学习与分类
1.1贝叶斯定理
先看什么是条件概率
$P(A|B$表示事件$B已经发生的前提下,事件$A发生的概率,叫做事件$B$
发生下事件$A$的条件概率。其基本求解公式为
贝叶斯定理便是基于条件概率,通过$P(A|B)$来求$P(B|A)$:
顺便提一下,上式中的分母,可以根据全概率公式分解为:
1.2 特征条件独立假设
这一部分开始朴素贝叶斯的理论推导,从中你会深刻地理解什么是特征条件独立假设。
给定训练数据集$(X,Y)$,其中每个样本$X$都包括$n$维特征,即$x=(x_1,x_2,···,x_n)$,类标记集合含有$K$种类别,即$y=(y_1,y_2,···,y_k)$
如果现在来了一个新样本$x$我们要怎么判断它的类别?从概率的角度来看,这个问题就是给定$x$,它属于哪个类别的概率更大。那么问题就转化为求解$P(y_1|x),P(y_2|x),P(y_k|x)$中最大的那个,即求后验概率最大的输出:$
arg\underset{y_k}{\max}P\left(y_k|x\right)
$
那$P(y_k|x)$怎么求解?答案就是贝叶斯定理:
根据全概率公式,可以进一步分解上式中的分母:
先不管分母,分子中的$P(y_k)$是先验概率,根据训练集就可以简单地计算出来,而条件概率$P(x|y_k)=P(x_1,x_2,···,x_n|y_k)$,它的参数规模是指数数量级别的,假设第$i$维特征$x_i$可取值的个数有$S_i$个,类别取值个数为$k$个,那么参数个数为$
k\prod_{j=1}^n{S_j}
$
这显然是不可行的。针对这个问题,朴素贝叶斯算法对条件概率分布做了独立性的假设,通俗地讲就是说假设各个维度的特征$x_1,x_2,···,x_n$互相独立,由于这是一个较强的假设,朴素贝叶斯算法也因此得名。在这个假设的前提上,条件概率可以转化为:
这样参数规模就降到了$
\sum_{i=1}^n{S_ik}
$
以上就是针对条件概率所作出的特征条件独立性假设,至此,先验概率$P(y_k)$和条件概率$P(x|y_k)$的求解问题就都解决了,那么我们是不是可以求解我们所需要的后验概率$P(y_k|x)$了
答案是肯定的。我们继续上面关于$P(y_k|x)$的推导,将公式2代入公式1中得到:
于是朴素贝叶斯分类器可表示为:
因为对于所有的$y_k$,上式中的分母的值都是一样的(为什么?注意到全加符号就容易理解了),所以可以忽略分母部分,朴素贝叶斯分裂期最终表示为:
二、朴素贝叶斯法的参数估计
2.1 极大似然估计
根据上述,可知朴素贝叶斯要学习的东西就是$P(Y=c_k)$和$P(X^{j}=a_{jl}|Y=c_k)$,可以应用极大似然估计法估计相应的概率(简单讲,就是用样本来推断模型的参数,或者说是使得似然函数最大的参数)。
先验概率$P(Y=c_k)$的极大似然估计是
也就是用样本中$c_k$的出现次数除以样本容量。
推导如下:
设第$j$个特征$x^{(j)}$可能取值的集合为${a_{j1},a_{j2},···,a_{jl}}$,条件概率$P(X^{j}=a_{jl}|Y=c_k)$的极大似然估计是:
式中,$x_i^{j}$是第$i$个样本的第$j$个特征。
例题如下:
2.2 贝叶斯估计
极大似然估计有一个隐患,假设训练数据中没有出现某种参数与类别的组合怎么办?比如上例中当$Y=1$对应的$X^{(1)}$的取值只有$1$和$2$。这样可能会出现所要估计的概率值为0的情况,但是这不代表真实数据中就没有这样的组合。这时会影响到后验概率的计算结果,使分类产生偏差。解决办法是贝叶斯估计。
条件概率的贝叶斯估计:
其中$\lambda≥0$,$S_j$表示$x_j$可能取值的中数。分子和分母分别比极大似然估计多了一点东西,其意义为在随机变量各个取值的频数上赋予一个正数$\lambda≥0$。当$\lambda=0$时就是极大似然估计。常取$\lambda=1$,这时称为拉普拉斯平滑。
先验概率的贝叶斯估计:
例题如下:
三、python代码实现
3.1 朴素贝叶斯文档分类
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3.2 使用朴素贝叶斯过滤垃圾邮件
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四、参考资料
维基百科:Naive Bayes classifier
数学之美番外篇:平凡而又神奇的贝叶斯方法
朴素贝叶斯理论推导与三种常见模型
机器学习实战