机器学习算法系列（10）：朴素贝叶斯

朴素贝叶斯（Naive Bayes）是基于贝叶斯定理与特征条件假设的分类方法。

对于给定的训练数据集，首先基于特征条件独立假设学习输入、输出的联合分布；然后基于此模型，对给定的输入$x$，利用贝叶斯定理求出后验概率最大的输出$y$。

朴素贝叶斯实现简单，学习与预测的效率都很高，是一种常用的方法。

一、朴素贝叶斯的学习与分类

1.1贝叶斯定理

先看什么是条件概率

$P(A|B$表示事件$B已经发生的前提下，事件$A发生的概率，叫做事件$B$
发生下事件$A$的条件概率。其基本求解公式为

$$P\left(A|B\right)=\frac{P\left(AB\right)}{P\left(B\right)}$$

贝叶斯定理便是基于条件概率，通过$P(A|B)$来求$P(B|A)$：

$$P\left(B|A\right)=\frac{P\left(A|B\right)·P\left(B\right)}{P\left(A\right)}$$

顺便提一下，上式中的分母，可以根据全概率公式分解为：

$$P\left(A\right)=\sum_{i=1}^n{P\left(B_i\right)P\left(A|B_i\right)}$$

1.2 特征条件独立假设

这一部分开始朴素贝叶斯的理论推导，从中你会深刻地理解什么是特征条件独立假设。

给定训练数据集$(X,Y)$，其中每个样本$X$都包括$n$维特征，即$x=(x_1,x_2,···,x_n)$，类标记集合含有$K$种类别，即$y=(y_1,y_2,···,y_k)$

如果现在来了一个新样本$x$我们要怎么判断它的类别?从概率的角度来看，这个问题就是给定$x$，它属于哪个类别的概率更大。那么问题就转化为求解$P(y_1|x),P(y_2|x),P(y_k|x)$中最大的那个，即求后验概率最大的输出：$arg\underset{y_k}{\max}P\left(y_k|x\right)$

那$P(y_k|x)$怎么求解？答案就是贝叶斯定理：

$$P\left(y_k|x\right)=\frac{P\left(x|y_k\right)·P\left(y_k\right)}{P\left(x\right)}$$

根据全概率公式，可以进一步分解上式中的分母：

$$P\left(y_k|x\right)=\frac{P\left(x|y_k\right)·P\left(y_k\right)}{\sum_{i=1}^n{P\left(x|y_k\right)P\left(y_k\right)}} （公式1）$$

先不管分母，分子中的$P(y_k)$是先验概率，根据训练集就可以简单地计算出来，而条件概率$P(x|y_k)=P(x_1,x_2,···,x_n|y_k)$，它的参数规模是指数数量级别的，假设第$i$维特征$x_i$可取值的个数有$S_i$个，类别取值个数为$k$个，那么参数个数为$k\prod_{j=1}^n{S_j}$

这显然是不可行的。针对这个问题，朴素贝叶斯算法对条件概率分布做了独立性的假设，通俗地讲就是说假设各个维度的特征$x_1,x_2,···,x_n$互相独立，由于这是一个较强的假设，朴素贝叶斯算法也因此得名。在这个假设的前提上，条件概率可以转化为：

$$P\left(x|y_i\right)=P\left(x_1,x_2,···,x_n|y_i\right)=\prod_{i=1}^n{P\left(x_i|y_i\right)} （公式2）$$

这样参数规模就降到了$\sum_{i=1}^n{S_ik}$

以上就是针对条件概率所作出的特征条件独立性假设，至此，先验概率$P(y_k)$和条件概率$P(x|y_k)$的求解问题就都解决了，那么我们是不是可以求解我们所需要的后验概率$P(y_k|x)$了

答案是肯定的。我们继续上面关于$P(y_k|x)$的推导，将公式2代入公式1中得到：

$$P\left(y_k|x\right)=\frac{P\left(y_k\right)\prod_{i=1}^n{P\left(x_i|y_k\right)}}{\sum_k{P\left(y_k\right)\prod_{i=1}^n{P\left(x_i|y_k\right)}}}$$

于是朴素贝叶斯分类器可表示为：

$$f\left(x\right)=arg\underset{y_k}{\max}P\left(y_k|x\right)=arg\underset{y_k}{\max}\frac{P\left(y_k\right)\prod_{i=1}^n{P\left(x_i|y_k\right)}}{\sum_k{P\left(y_k\right)\prod_{i=1}^n{P\left(x_i|y_k\right)}}}$$

因为对于所有的$y_k$，上式中的分母的值都是一样的（为什么？注意到全加符号就容易理解了），所以可以忽略分母部分，朴素贝叶斯分裂期最终表示为：

$$f\left(x\right)=arg\underset{y_k}{\max}P\left(y_k\right)\prod_{i=1}^n{P\left(x_i|y_k\right)}$$

二、朴素贝叶斯法的参数估计

2.1 极大似然估计

根据上述，可知朴素贝叶斯要学习的东西就是$P(Y=c_k)$和$P(X^{j}=a_{jl}|Y=c_k)$，可以应用极大似然估计法估计相应的概率（简单讲，就是用样本来推断模型的参数，或者说是使得似然函数最大的参数）。

先验概率$P(Y=c_k)$的极大似然估计是

$$P\left(Y=c_k\right)=\frac{\sum_{i=1}^N{I\left(y_i=c_k\right)}}{N},\,\,k=1,2,···,K$$

也就是用样本中$c_k$的出现次数除以样本容量。

推导如下：

设第$j$个特征$x^{(j)}$可能取值的集合为${a_{j1},a_{j2},···,a_{jl}}$，条件概率$P(X^{j}=a_{jl}|Y=c_k)$的极大似然估计是：

$$P\left(X^{\left(j\right)}=a_{jl}|Y=c_k\right)=\frac{\sum_{i=1}^N{I\left(x_{i}^{\left(j\right)}=a_{jl},y_{i=}c_k\right)}}{\sum_{i=1}^N{I\left(y_i=c_k\right)}}$$

式中，$x_i^{j}$是第$i$个样本的第$j$个特征。

例题如下：

2.2 贝叶斯估计

极大似然估计有一个隐患，假设训练数据中没有出现某种参数与类别的组合怎么办？比如上例中当$Y=1$对应的$X^{(1)}$的取值只有$1$和$2$。这样可能会出现所要估计的概率值为0的情况，但是这不代表真实数据中就没有这样的组合。这时会影响到后验概率的计算结果，使分类产生偏差。解决办法是贝叶斯估计。

条件概率的贝叶斯估计：

$$P_{\lambda}\left(X^{\left(j\right)}=a_{jl}\parallel Y=c_k\right)=\frac{\sum_{i=1}^N{I\left(x_{i}^{\left(j\right)}=a_{jl},y_{i=}c_k\right)}+\lambda}{\sum_{i=1}^N{I\left(y_i=c_k\right)}+S_j\lambda}$$

其中$\lambda≥0$，$S_j$表示$x_j$可能取值的中数。分子和分母分别比极大似然估计多了一点东西，其意义为在随机变量各个取值的频数上赋予一个正数$\lambda≥0$。当$\lambda=0$时就是极大似然估计。常取$\lambda=1$，这时称为拉普拉斯平滑。

先验概率的贝叶斯估计：

$$P_{\lambda}\left(Y=c_k\right)=\frac{\sum_{i=1}^N{I\left(y_i=c_k\right)}+\lambda}{N+K\lambda}$$

例题如下：

三、python代码实现

3.1 朴素贝叶斯文档分类

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on 下午5:28 22 03 2017
bayes algorithm: classify a words as good or bad   [text classify]
@author: plushunter
"""

from numpy import *

class Naive_Bayes:
    def __init__(self):
        self._creteria = "NB"


    #创建不重复词集
    def _creatVocabList(self,dataSet):
        vocabSet = set([])  # 创建一个空的SET
        for document in dataSet:
            vocabSet = vocabSet | set(document)  # 并集
        return list(vocabSet)  # 返回不重复词表（SET的特性）

    #文档词集向量模型
    def _setOfWordToVec(self,vocabList, inputSet):
        """
        功能:给定一行词向量inputSet，将其映射至词库向量vocabList，出现则标记为1，否则标记为0.
        """
        returnVec = [0] * len(vocabList)
        for word in inputSet:
            if word in vocabList:
                returnVec[vocabList.index(word)] = 1
        return returnVec

    #文档词袋模型
    def _bagOfsetOfWordToVec(self,vocabList, inputSet):
        """
        功能：对每行词使用第二种统计策略，统计单个词的个数，然后映射到此库中
        输出：一个n维向量，n为词库的长度，每个取值为单词出现的次数
        """
        returnVec = [0] * len(vocabList)
        for word in inputSet:
            if word in vocabList:
                returnVec[vocabList.index(word)] += 1 #更新此处代码
        return returnVec


    def _trainNB0(self,trainMatrix, trainCategory):
        """
        输入：训练词矩阵trainMatrix与类别标签trainCategory,格式为Numpy矩阵格式
        功能：计算条件概率p0Vect、p1Vect和类标签概率pAbusive
        """
        numTrainDocs = len(trainMatrix)#样本个数
        numWords = len(trainMatrix[0])#特征个数，此处为词库长度
        pAbusive = sum(trainCategory) / float(numTrainDocs)#计算负样本出现概率（先验概率）
        p0Num = ones(numWords)#初始词的出现次数为1，以防条件概率为0，影响结果
        p1Num = ones(numWords)#同上
        p0Denom = 2.0#类标记为2，使用拉普拉斯平滑法,
        p1Denom = 2.0
        #按类标记进行聚合各个词向量
        for i in range(numTrainDocs):
            if trainCategory[i] == 0:
                p0Num += trainMatrix[i]
                p0Denom += sum(trainMatrix[i])
            else:
                p1Num += trainMatrix[i]
                p1Denom += sum(trainMatrix[i])
        p1Vect = log(p1Num / p1Denom)#计算给定类标记下，词库中出现某个单词的概率
        p0Vect = log(p0Num / p0Denom)#取log对数，防止条件概率乘积过小而发生下溢
        return p0Vect, p1Vect, pAbusive


    def _classifyNB(self,vec2Classify, p0Vec, p1Vec, pClass1):
        """
        该算法包含四个输入:
        vec2Classify表示待分类的样本在词库中的映射集合，
        p0Vec表示条件概率P(wi|c=0)P(wi|c=0)，
        p1Vec表示条件概率P(wi|c=1)P(wi|c=1)，
        pClass1表示类标签为1时的概率P(c=1)P(c=1)。

        p1=ln[p(w1|c=1)p(w2|c=1)…p(wn|c=1)p(c=1)]
        p0=ln[p(w1|c=0)p(w2|c=0)…p(wn|c=0)p(c=0)]
        log取对数为防止向下溢出

        功能:使用朴素贝叶斯进行分类,返回结果为0/1
        """
        p1 = sum(vec2Classify * p1Vec) + log(pClass1)
        p0 = sum(vec2Classify * p0Vec) + log(1 - pClass1)
        if p1 > p0:
            return 1
        else:
            return 0
    #test
    def testingNB(self,testSample):
        "step1：加载数据集与类标号"
        listOPosts, listClasses = loadDataSet()
        "step2：创建词库"
        vocabList = self._creatVocabList(listOPosts)
        "step3：计算每个样本在词库中出现的情况"
        trainMat = []
        for postinDoc in listOPosts:
            trainMat.append(self._bagOfsetOfWordToVec(vocabList, postinDoc))
        p0V, p1V, pAb = self._trainNB0(trainMat, listClasses)
        "step4：测试"
        thisDoc = array(self._bagOfsetOfWordToVec(vocabList, testSample))
        result=self._classifyNB(thisDoc, p0V, p1V, pAb)
        print testSample, 'classified as:', result
        # return result

###
# 加载数据集
def loadDataSet():
    postingList = [['my', 'dog', 'has', 'flea', 'problems', 'help', 'please'],
                   ['maybe', 'not', 'take', 'him', 'to', 'dog', 'park', 'stupid'],
                   ['my', 'dalmation', 'is', 'so', 'cute', 'I', 'love', 'him'],
                   ['stop', 'posting', 'stupid', 'worthless', 'garbage'],
                   ['mr', 'licks', 'ate', 'my', 'steak', 'how', 'to', 'stop', 'him'],
                   ['quit', 'buying', 'worthless', 'dog', 'food', 'stupid']]
    classVec = [0, 1, 0, 1, 0, 1]  # 1 is abusive, 0 not
    return postingList, classVec

#测试
if __name__=="__main__":
    clf = Naive_Bayes()
    testEntry = [['love', 'my', 'girl', 'friend'],
                 ['stupid', 'garbage'],
                 ['Haha', 'I', 'really', "Love", "You"],
                 ['This', 'is', "my", "dog"],
                 ['maybe','stupid','worthless']]
    for item in testEntry:
        clf.testingNB(item)

3.2 使用朴素贝叶斯过滤垃圾邮件

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on 下午8:47 22 03 2017
Email_Classify 
@author: plushunter 
"""

import re
import Bayes
from numpy import *
# mysent='This book is the best book on Python or M.L I have ever laid eyes upon.'
# regEx = re.compile('\\W*')
# listOfTokens=regEx.split(mysent)
# tok=[tok.upper() for tok in listOfTokens if len(tok)>0]
# print tok
#
# emailText=open('email/ham/6.txt').read()
# listOfTokens=regEx.split(emailText)
# print listOfTokens

def textParse(bigString):
    import re
    listOfTokens=re.split(r'\w*',bigString)
    return [tok.lower() for tok in listOfTokens if len(tok)>2]
def spamTest():
    clf = Bayes.Naive_Bayes()
    docList=[]
    classList=[]
    fullText=[]
    for i in range(1,26):
        wordList=textParse(open('email/spam/%d.txt'%i).read())
        docList.append(wordList)
        fullText.extend(wordList)
        classList.append(1)
        wordList=textParse(open('email/ham/%i.txt'%i).read())
        docList.append(wordList)
        fullText.extend(wordList)
        classList.append(0)
    vocabList=clf._creatVocabList(docList)
    trainingSet=range(50);testSet=[]
    for i in range(10):
        randIndex=int(random.uniform(0,len(trainingSet)))
        testSet.append(trainingSet[randIndex])
        del(trainingSet[randIndex])
    trainMatix=[];trainClasses=[]
    for docIndex in trainingSet:
        trainMatix.append(clf._bagOfsetOfWordToVec(vocabList,docList[docIndex]))
        trainClasses.append(classList[docIndex])
    p0V,p1V,pSpam=clf._trainNB0(array(trainMatix),array(trainClasses))
    errorCount = 0
    for docIndex in testSet:
        wordVector = clf._bagOfsetOfWordToVec(vocabList,docList[docIndex])
        if clf._classifyNB(array(wordVector), p0V, p1V, pSpam)!=classList[docIndex]:
            errorCount+=1
    print 'the error rate is :',float(errorCount)/len(testSet)

四、参考资料

维基百科：Naive Bayes classifier
数学之美番外篇：平凡而又神奇的贝叶斯方法
朴素贝叶斯理论推导与三种常见模型
机器学习实战