机器学习算法系列（27）：Isolation Forest

“An outlier is an observation which deviates so much from other observations as to arouse suspicions that it was generated by a different mechanism.” — D. M. Hawkins, Identification of Outliers, Chapman and Hall, 1980.

异常检测 (anomaly detection)，或者又被称为“离群点检测” (outlier detection)，是机器学习研究领域中跟现实紧密联系、有广泛应用需求的一类问题。但是，什么是异常，并没有标准答案，通常因具体应用场景而异。如果要给一个比较通用的定义，很多文献通常会引用 Hawkins 在文章开头那段话。很多后来者的说法，跟这个定义大同小异。这些定义虽然笼统，但其实暗含了认定“异常”的两个标准或者说假设：

1）异常数据跟样本中大多数数据不太一样。
2）异常数据在整体数据样本中占比比较小。

为了刻画异常数据的“不一样”，最直接的做法是利用各种统计的、距离的、密度的量化指标去描述数据样本跟其他样本的疏离程度。而 Isolation Forest (Liu et al. 2011) 的想法要巧妙一些，它尝试直接去刻画数据的“疏离”(isolation)程度，而不借助其他量化指标。Isolation Forest 因为简单、高效，在学术界和工业界都有着不错的名声。

一、简介

我们先用一个简单的例子来说明 Isolation Forest 的基本想法。假设现在有一组一维数据（如下图所示），我们要对这组数据进行随机切分，希望可以把点 A 和点 B 单独切分出来。具体的，我们先在最大值和最小值之间随机选择一个值 x，然后按照 =x 可以把数据分成左右两组。然后，在这两组数据中分别重复这个步骤，直到数据不可再分。显然，点 B 跟其他数据比较疏离，可能用很少的次数就可以把它切分出来；点 A 跟其他数据点聚在一起，可能需要更多的次数才能把它切分出来。

我们把数据从一维扩展到两维。同样的，我们沿着两个坐标轴进行随机切分，尝试把下图中的点A’和点B’分别切分出来。我们先随机选择一个特征维度，在这个特征的最大值和最小值之间随机选择一个值，按照跟特征值的大小关系将数据进行左右切分。然后，在左右两组数据中，我们重复上述步骤，再随机的按某个特征维度的取值把数据进行细分，直到无法细分，即：只剩下一个数据点，或者剩下的数据全部相同。跟先前的例子类似，直观上，点B’跟其他数据点比较疏离，可能只需要很少的几次操作就可以将它细分出来；点A’需要的切分次数可能会更多一些。

按照先前提到的关于“异常”的两个假设，一般情况下，在上面的例子中，点B和点B’ 由于跟其他数据隔的比较远，会被认为是异常数据，而点A和点A’ 会被认为是正常数据。直观上，异常数据由于跟其他数据点较为疏离，可能需要较少几次切分就可以将它们单独划分出来，而正常数据恰恰相反。这其实正是 Isolation Forest（IF）的核心概念。IF采用二叉树去对数据进行切分，数据点在二叉树中所处的深度反应了该条数据的“疏离”程度。整个算法大致可以分为两步：

训练：抽取多个样本，构建多棵二叉树（Isolation Tree，即 iTree）；
预测：综合多棵二叉树的结果，计算每个数据点的异常分值。

训练：

构建一棵 iTree 时，先从全量数据中抽取一批样本，然后随机选择一个特征作为起始节点，并在该特征的最大值和最小值之间随机选择一个值，将样本中小于该取值的数据划到左分支，大于等于该取值的划到右分支。然后，在左右两个分支数据中，重复上述步骤，直到满足如下条件：

1）数据不可再分，即：只包含一条数据，或者全部数据相同。
2）二叉树达到限定的最大深度。

预测：

计算数据 x 的异常分值时，先要估算它在每棵 iTree 中的路径长度（也可以叫深度）。具体的，先沿着一棵 iTree，从根节点开始按不同特征的取值从上往下，直到到达某叶子节点。假设 iTree 的训练样本中同样落在 x 所在叶子节点的样本数为 T.size，则数据 x 在这棵 iTree 上的路径长度 h(x)，可以用下面这个公式计算：

$h(x)=e+C(T.size)$

公式中，$e$表示数据$x$从$iTree$的根节点到叶节点过程中经过的边的数目，$C(T.size)$ 可以认为是一个修正值，它表示在一棵用 $T.size$ 条样本数据构建的二叉树的平均路径长度。一般的，$C(n)$的计算公式如下：

$C(n)=2H(n-1)-\frac{2(n-1)}{n}$

其中，$H(n-1)$可用$ln(n-1)+0.5772156649$估算，这里的常数是欧拉常数。数据 x 最终的异常分值 Score(x) 综合了多棵 iTree 的结果：

$Score(x)=2^{-\frac{E[h(x)]}{C(\psi)}}$

公式中，$E(h(x)) $表示数据 x 在多棵 iTree 的路径长度的均值，$\psi$表示单棵 iTree 的训练样本的样本数，$C(\psi)$ 表示用$\psi$条数据构建的二叉树的平均路径长度，它在这里主要用来做归一化。

从异常分值的公式看，如果数据 x 在多棵 iTree 中的平均路径长度越短，得分越接近 1，表明数据 x 越异常；如果数据 x 在多棵 iTree 中的平均路径长度越长，得分越接近 0，表示数据 x 越正常；如果数据 x 在多棵 iTree 中的平均路径长度接近整体均值，则打分会在 0.5 附近。

二、算法特点

在论文中，也比较了其它的常用异常挖掘的算法。比如常用的统计方法，基于分类的方法，和基于聚类的方法，这些传统算法通常是对正常的数据构建一个模型，然后把不符合这个模型的数据，认为是异常数据。而且，这些模型通常为正常数据作优化，而不是为异常数据作优化。而iForest可以显示地找出异常数据，而不用对正常的数据构建模型。

由于异常数据的两个特征（少且不同： few and different）：异常数据只占很少量;异常数据特征值和正常数据差别很大。

异常数据的这两个特征，确定了算法的理论基础。因此，构建二叉树型结构的时候，异常数据离根更近，而正常数据离根更远，更深。算法为了效率考虑，也限定了树的深度：ceil(log2(n))，这个值近似于树的平均深度，因为只需要关心那些低于平均高度的数据点，而不需要树进行完全生成。

算法只需要两个参数：树的多少与采样的多少。实验发现，在100颗树的时候，路径的长度就已经覆盖得比较好了，因此选100颗也就够了。采样，是为了更好的将正常数据和异常数据分离开来。有别于其它模型，采样数据越多，反面会降低iForest识别异常数据的能力。因为，通常使用256个样本，这也是scikit-learn实现时默认使用的采样数。

由于算法只需要采样数据256条样本，并且对树的深度也有限制，因此，算法对内存要求很低，且处理速度很快，其时间复杂度也是线性的。

不像其它算法，需要计算距离或者密度来寻找异常数据，iForest算法可以很好的处理高维数据和大数据，并且也可以作为在线预测。假设采样为256条，结点最大为511个，假设一个节点占b字节，共使用t颗树，那么需要的内存只有511tb字节，基本上只需要几M到几十M的内存就够了。数据还显示，预测287,748条数据只花了7.6秒。

另外，iForest既能发现群异常数据，也能发现散点异常数据。同时也能处理训练数据中不包含异常数据的情况。

三、代码示例

 print(__doc__)
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.ensemble import IsolationForest
rng = np.random.RandomState(42)
# Generate train data
X = 0.3 * rng.randn(100, 2)
X_train = np.r_[X + 2, X - 2]
# Generate some regular novel observations
X = 0.3 * rng.randn(20, 2)
X_test = np.r_[X + 2, X - 2]
# Generate some abnormal novel observations
X_outliers = rng.uniform(low=-4, high=4, size=(20, 2))
# fit the model
clf = IsolationForest(max_samples=100, random_state=rng)
clf.fit(X_train)
y_pred_train = clf.predict(X_train)
y_pred_test = clf.predict(X_test)
y_pred_outliers = clf.predict(X_outliers)
# plot the line, the samples, and the nearest vectors to the plane
xx, yy = np.meshgrid(np.linspace(-5, 5, 50), np.linspace(-5, 5, 50))
Z = clf.decision_function(np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()])
Z = Z.reshape(xx.shape)
plt.title("IsolationForest")
plt.contourf(xx, yy, Z, cmap=plt.cm.Blues_r)
b1 = plt.scatter(X_train[:, 0], X_train[:, 1], c='white',
                 s=20, edgecolor='k')
b2 = plt.scatter(X_test[:, 0], X_test[:, 1], c='green',
                 s=20, edgecolor='k')
c = plt.scatter(X_outliers[:, 0], X_outliers[:, 1], c='red',
                s=20, edgecolor='k')
plt.axis('tight')
plt.xlim((-5, 5))
plt.ylim((-5, 5))
plt.legend([b1, b2, c],
           ["training observations",
            "new regular observations", "new abnormal observations"],
           loc="upper left")
plt.show()